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西尔维斯特问题

 

数学史上有这样一件趣事,名流权威所不能解决的问题,却被“无名小卒”解决了,这就是西尔维斯特问题。
  西尔维斯特(1814年~1897年)是英国著名数学家,他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题):平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点,那么,这n个点在同一条直线上。
  这个看起来好像很容易的问题,却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了,许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是,该问题最终却被一位“无名小卒”解决了。之所以说是“无名小卒”,是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时,都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易,连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。
  用反证法。假设这n个点不在同一直线上,那么过其中任意两点的直线外,均有已知点,它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数,所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点,B、C、D在同一条直线上,而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的.
  不妨设D在B、C之间,D到AB、AC的距离分别为h1、h2,那么由h的最小性,有h1AB+h2AC>h(AB+AC)>hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积,因而矛盾。所以假设不对,这n个点只能在同一直线上。



 

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