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为什么要把“0”作为一个自然数

 

现在,已经明确地把数“0”作为一个自然数看待.为什么?听了很多的解释,大部分的解释是把这看作一个“规定”:就是说可以把“0,1,2,…,n,…”作为自然数,也可以把“1,2,…,n,…”做为自然数.显然,这样的“解释”是不够的.在这儿谈谈我们的理解,供老师和同学参考.

  首先,应该从自然数的功能说起,自然数是人类最早用来描述周围世界“数量关系”的概念,几乎从一开始就具有三个基本功能,一个是帮人类来刻画某一类“东西”的多少,用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数(性质);另一个就是刻画一类“事物”的顺序,“第一”,“第二”,……,用现代的数学语言来说,描述一个有限集合中元素的“顺序”性质.这就是说,自然数既具有用来描述集合(有限)元素多少的基数性质,又具有描述集合元素顺序的序数性质.或者可以进一步说,自然数既是基数,又是序数.“自然数”的第三个基本功能是“运算功能”.自然数可以做加法运算和乘法运算.在此基础上,随着对运算的深入研究使得我们一步一步地建立起了有理数、实数和它们的运算.

  我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合,也是我们在描述周围现象中经常用到的集合,在数学中更是经常要用的.例如:所有不能表示为两个素数之和的偶数集合是空集吗?这就是哥德巴赫猜想.一般地说,集合常常被分为有限集合和无限集合两类.有限集合是含有有限元素的集合.像学校中人的集合,学校中男人的集合,学校中女人的集合,学校中老师的集合和学生的集合,某个一元二次方程解的集合等等都是有限集合;无限集合是含有的元素不是有限的集合.像自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等.把“空集”作为一个有限集是很自然的.并且我们很容易理解应该用“0”来描述“空集”中含元素的多少. 

有了前面这些说明,我们就容易理解这样一个事实:如果把“0”作为一个自然数,那么“所有自然数”就可以完整地完成刻画“有限集合元素多少”的任务了.而没有“0”的“所有自然数”总是有“缺陷”,因为没有自然数可以表示“空集”所含元素的多少.这样,我们从“自然数的一种基本功能”方面说明了把“0”作为自然数的好处. 

我们还必须说明另一个问题:把“0”作为自然数,是否会影响自然数的“序数功能”和“运算功能”?回答是不会的.不仅不会,还会使“自然数”的这两功能更加“完整”.先看原来没有“0”的自然数,我们都知道不同自然数有大小之分,8大于5,1000大于999,按这样的大小,所有自然数构成了一个“有顺序”的集合.即若自然数n1大于n2,n2大于n3,则自然数n1大于n3,我们称之为“传递性”.另外,对于任何两个自然数n1和n2,或者n1大于n2,或者n2大于n1,或者n1等于n2,即“三歧性”.一般地说,我们把具有传递性和三歧性的集合称之为线性序集.在这里我们不想用非常规范的集合论语言叙述这些性质,这样会增加中学老师和中学生阅读的困难.希望对这部分内容有进一步了解的读者可以选读任何一本“集合论”的著作.我们很容易理解有理数集,实数集都是线性序集(按照通常的顺序).即若有理数(实数)r1大于有理数(实数)r2,而r2大于有理数(实数)r3,则r1大于r3(传递性);另外,对任意两个有理数(实数)r1和r2,则或r1>r2,或r2>r1, 或r1=r2(三歧性).自然数在“顺序”方面的性质,除了上述性质之外,还有一种它所具有的特殊的性质.在陈述这一基本性质之前,有必要说明一点,如我们前面所说,“自然数”具有三种基本功能,或说三种基本性质,我们在有些时候要说明这些性质之间的联系,但有时候常常要单独地讨论一种“功能”的性质,在这种情况下,要学会“排除”其它“功能”的干扰,这样才能较好地理解“一种功能”的“本质”.“自然数反映顺序的性质”中,最基本的性质是“自然数集合的任何一个非空的子集合中,一定有最小的数”.在不包含0的自然数集合中.例如,“所有偶数的集合”中2是最小的;在“既可被5整除又可被7整除的自然数集合”中,35是最小的.并不是所有有“顺序”性质的集合都具有这种“特殊的性质”,例如:无论是有理数,还是实数,都具有“传递性”和“三歧性”,但是它们同样不具有自然数所拥有的那种特殊的性质.例如区间(0,1)是有理数集合或实数集合中的非空子集,然而(0,1)中没有最小的数存在.在这里加一句话,自然数的这种特殊性质,是一类一般的良序集合所拥有的基本性质.自然数集仅是一种特殊的良序集合,这种性质是保证数学归纳法成立的基本性质.一般读者不必介意这些话. 

如果把“0”加入传统的自然数集合,新的自然数集合{0,1,2,…,n,…}依然会保持原自然数集合{1,2,…,n,…}拥有的所有的“顺序”性质.当然也包括那种特殊的性质. 

对自然数的运算功能:加法和乘法来说,把“0”加入传统的自然数集合,不仅所有的“运算法则”依旧保持,如对加法和乘法运算都是封闭的,即新自然数集合{0,1,2,…,n,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算,而运算结果仍然是自然数.同时保持加法、乘法运算的结合性和交换性,以及乘法对加法的分配性.即n1 (n2+n3)=n1 n2+n1 n3.不仅于此,特别对加法运算来说,有了“0”这个特殊的数,加法运算变得更完整了,用一句群论的语言来说,新的自然数在加法运算下,成了有零元的加法交换半群了. 

既然“0”加盟到自然数集合中,只有好处没有坏处,为什么我们不应该欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢? 

最后,我们再补充一点“集合论”方面的常识.我们都知道:无法给集合下一个确切的数学定义.在20世纪初,一大批著名的数学家从不同的角度来弥补“无法给集合下一个严格定义”的缺陷,他们建立了“公理集合论”,并由此得到一系列影响现代数学发展的重要结果.在这里我们不可能介绍“公理集合论”的内容,但是我们可以告诉读者,其基本的思想就是避免“悖论”.在“公理集合论”中,“空集”是第一个被给出的“具体集合”,并由“空集”出发再由其他的一些公理构造出了所有的集合,包括自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等.而在构造出的自然数集合中,“空集”就相当于“零”. 

除了前面介绍的自然数的三种基本功能之外,所有自然数的集合是中小学生见到的一个最重要的无限集合,没有零的自然数集合与包括零的自然数集合可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的;n---n+1.在这个意义下他们是“同构”的. 

希望我们的老师和同学更好地理解“0是一个自然数”,这样做是“理所当然”的,而不仅仅是人为的“规定”.这件事可以帮助我们更好地理解自然数和它的功能.也希望我们的老师和同学养成一个习惯,不仅知道和记住数学的“定义”和“规定”,还应该思考它们“后面”的数学含义.



 

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